(1) ベクトル $\vec{a} = (14, -2)$ とベクトル $\vec{b} = (3t+1, -4t+7)$ が平行になるように、$t$ の値を定める。 (2) ベクトル $\vec{m} = (1, p)$ とベクトル $\vec{n} = (p+3, 4)$ が平行になるように、$p$ の値を定める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (14, -2)$ とベクトル $\vec{b} = (3t+1, -4t+7)$ が平行になるように、$t$ の値を定める。

(2) ベクトル $\vec{m} = (1, p)$ とベクトル $\vec{n} = (p+3, 4)$ が平行になるように、$p$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、$\vec{b} = k\vec{a}$ となる実数 $k$ が存在する。よって、

$$(3t+1, -4t+7) = k(14, -2)$$

この式は、以下の連立方程式で表せる。

$$3t+1 = 14k$$

$$-4t+7 = -2k$$

2つ目の式を7倍すると、

$$-28t+49 = -14k$$

1つ目の式と足し合わせることで、$k$ を消去できる。

$$3t+1 -28t+49 = 0$$

$$-25t+50 = 0$$

$$25t = 50$$

$$t = 2$$

(2) 2つのベクトル $\vec{m}$ と $\vec{n}$ が平行であるとき、$\vec{n} = k\vec{m}$ となる実数 $k$ が存在する。よって、

$$(p+3, 4) = k(1, p)$$

この式は、以下の連立方程式で表せる。

$$p+3 = k$$

$$4 = kp$$

1つ目の式を2つ目の式に代入する。

$$4 = (p+3)p$$

$$4 = p^2+3p$$

$$p^2+3p-4 = 0$$

$$(p+4)(p-1) = 0$$

$$p = -4, 1$$

3. 最終的な答え

(1) $t = 2$

(2) $p = -4, 1$