次の和を求めよ。 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k + 1) = \frac{n}{[エ]}([n^2 + [オ]n + [カ])$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k + 1) = \frac{n}{[エ]}([n^2 + [オ]n + [カ])$

2. 解き方の手順

与えられた和を計算するために、次の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k + 1) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 6]$

$= \frac{n}{6} [2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 6]$

$= \frac{n}{6} [2n^2 + 6n + 10]$

$= \frac{n}{6} \cdot 2 [n^2 + 3n + 5]$

$= \frac{n}{3} [n^2 + 3n + 5]$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k + 1) = \frac{n}{3} (n^2 + 3n + 5)$

3. 最終的な答え

エ = 3

オ = 3

カ = 5