与えられた式 $(x-4)^3$ を展開し、その結果を $x^3 - \boxed{アイ}x^2 + \boxed{ウエ}x - \boxed{オカ}$ の形式で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-4)^3$ を展開し、その結果を $x^3 - \boxed{アイ}x^2 + \boxed{ウエ}x - \boxed{オカ}$ の形式で表す問題です。

2. 解き方の手順

二項定理、もしくは直接展開によって $(x-4)^3$ を計算します。

(方法1：二項定理)

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$を利用します。

ここでは、$a=x$、$b=-4$とします。

$(x-4)^3 = x^3 + 3x^2(-4) + 3x(-4)^2 + (-4)^3$

$= x^3 - 12x^2 + 3x(16) - 64$

$= x^3 - 12x^2 + 48x - 64$

(方法2：直接展開)

$(x-4)^3 = (x-4)(x-4)(x-4)$

まず$(x-4)(x-4)$を計算します。

$(x-4)(x-4) = x^2 - 4x - 4x + 16 = x^2 - 8x + 16$

次に$(x^2 - 8x + 16)(x-4)$を計算します。

$(x^2 - 8x + 16)(x-4) = x^3 - 8x^2 + 16x - 4x^2 + 32x - 64 = x^3 - 12x^2 + 48x - 64$

したがって、$x^3 - 12x^2 + 48x - 64 = x^3 - \boxed{アイ}x^2 + \boxed{ウエ}x - \boxed{オカ}$ より、

$\boxed{アイ} = 12$, $\boxed{ウエ} = 48$, $\boxed{オカ} = 64$となります。

3. 最終的な答え

アイ：12

ウエ：48

オカ：64