$DE // BC$、 $DF:FG = 4:5$ のとき、$x$ の値を求める。ここで、$BG=x$、 $AE=14$、 $CG=28$ である。

1. 問題の内容

$DE // BC$、 $DF:FG = 4:5$ のとき、$x$ の値を求める。ここで、$BG=x$、 $AE=14$、 $CG=28$ である。

2. 解き方の手順

まず、$DE // BC$ より、$\triangle ADE$ と $\triangle ABC$ は相似である。したがって、

$\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$

$AC = AE + EC = 14 + 28 = 42$ より、

$\frac{14}{42} = \frac{1}{3} = \frac{AD}{AB}$

また、$DF:FG = 4:5$ より、$DG:DF = 9:4$ である。

$\triangle ADG$と$\triangle ABF$について、

$\frac{DG}{BF} = \frac{AD}{AB}$ が成り立つはずである。

$BF = BG + GF = x+ GF$

$\frac{DG}{x+GF} = \frac{1}{3}$

$DG= \frac{4}{9}DF$

$FG= \frac{5}{9}DF$

$\triangle BCF$と$\triangle EDF$について考える。

$FG : FD = 5:4$より

$BG: AE = FG:FD = 5:4$ が成り立つ。

したがって、$BG=x$とすると、

$x:14 = 5:4$

$4x = 70$

$x = \frac{70}{4} = \frac{35}{2} = 17.5$

3. 最終的な答え

$x = 17.5$