円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + m$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = x + m$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線との距離が、円の半径以下であることである。

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $1$ である。

直線 $y = x + m$ を $x - y + m = 0$ と変形する。

点 $(0, 0)$ と直線 $x - y + m = 0$ との距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|0 - 0 + m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{2}}$$

円と直線が共有点を持つためには、$d \le 1$ でなければならない。

$$\frac{|m|}{\sqrt{2}} \le 1$$

$$|m| \le \sqrt{2}$$

$$-\sqrt{2} \le m \le \sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$-\sqrt{2} \le m \le \sqrt{2}$