三角形ABCにおいて、AD=DB, AE=EC, DF:FG = 5:6のとき、xの値を求めなさい。ただし、BC=15cmである。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AD=DB, AE=EC, DF:FG = 5:6のとき、xの値を求めなさい。ただし、BC=15cmである。

2. 解き方の手順

まず、DEは三角形ABCの中点連結定理より、BCに平行で、DE = (1/2)BCとなります。

$DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5$

次に、三角形DFBと三角形CGFは相似です。(平行線の錯角が等しいことから)

相似比は DF:FG = 5:6 なので、DB:GC = 5:6となります。

AD = DBより、DB = ADなので、AB = 2DB です。

また、DB:GC = 5:6 より、GC = (6/5)DBとなります。

BC = BG + GC であり、BG = xなので、

$15 = x + \frac{6}{5}DB$

一方、DB = (5/6)GCとなる。

DEとBCは平行なので、三角形BDEと三角形BCAは相似です。

BD:BA = 1:2 より、

$\frac{BF}{BG} = \frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC} = \frac{1}{2}$

$\frac{BF}{BG} = \frac{5}{5+6} = \frac{5}{11}$

DEとBCが平行であることから、三角形DFBと三角形CFGは相似です。

その相似比はDF:FG = 5:6なので、

DB:CG = 5:6

したがって、CG = (6/5)DB = (6/5)x

BC = BG + CG = x + (6/5)DB

BC = x + CG = x + (6/5)x

$15 = x + \frac{6}{5}x$

$15 = \frac{5}{5}x + \frac{6}{5}x$

$15 = \frac{11}{5}x$

$x = \frac{15 \times 5}{11}$

$x = \frac{75}{11}$

3. 最終的な答え

x = 75/11