三角形 ABC において、AD = DB, AE = EC, DF : FG = 5 : 6 のとき、線分 BF の長さ $x$ を求めなさい。線分 BC の長さは 15cm である。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、AD = DB, AE = EC, DF : FG = 5 : 6 のとき、線分 BF の長さ $x$ を求めなさい。線分 BC の長さは 15cm である。

2. 解き方の手順

まず、AD = DB, AE = EC より、DE は BC と平行で、DE は BC の半分の長さであることがわかる。

$DE = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5$

次に、DE と BC が平行なので、三角形 DFE と三角形 CFG は相似である。したがって、対応する辺の比は等しい。

$\frac{DF}{FG} = \frac{DE}{GC}$

問題文より DF : FG = 5 : 6 なので、

$\frac{5}{6} = \frac{7.5}{GC}$

GC を求めるために式を変形する。

$GC = \frac{6 \times 7.5}{5} = \frac{45}{5} = 9$

線分 BC は BG + GC であり、BG = BF + FG である。したがって、

$BC = BF + FG + GC$

$15 = x + FG + 9$

FG を求めるために、再び三角形 DFE と三角形 CFG の相似比を使う。

$\frac{DF}{FG} = \frac{FE}{FC} = \frac{DE}{GC}$

$\frac{5}{6} = \frac{DE}{GC} = \frac{7.5}{9}$

また、三角形 DBFと三角形 ABC の位置関係を考えると、DB = $\frac{1}{2}$ ABであり、D,F,Eがそれぞれ辺AB,DE,AC上にあることから、DF//BCが成り立ち、

BG = 15 - GC = 15 - 9 = 6

また、BG = BF + FGより、

6 = x + FG

問題より、DF:FG=5:6より、△DFEと△CFGは相似である。

$\frac{DF}{FG} = \frac{5}{6}$

また、$\frac{DE}{GC} = \frac{7.5}{9}$

したがって、

$\frac{BF}{BC} = \frac{DB}{AB} = \frac{1}{2}$

$BF = \frac{1}{2} BG$は成り立たない。

相似比を使ってFGを求められないので、別の方針で考える。

DFとBCは平行なので、

$\frac{BF}{BG} = \frac{BD}{BA} = \frac{1}{2}$

したがって、

$BG= 2BF = 2x$

$BC=BG+GC$

$15=2x+9$

$2x = 15 - 9 = 6$

$x = 3$

3. 最終的な答え

x = 3