$x$ についての2次方程式 $x^2 - 2px + 2p + 1 = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、定数 $p$ の値の範囲を求める問題です。 (1) 2つの解がともに正 (2) 1つの解が正、他の解が負 (3) 2つの解がともに1より大きく5より小さい という3つの条件それぞれにおける、$p$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$x$ についての2次方程式 $x^2 - 2px + 2p + 1 = 0$ が異なる2つの実数解を持つとき、定数 $p$ の値の範囲を求める問題です。

(1) 2つの解がともに正

(2) 1つの解が正、他の解が負

(3) 2つの解がともに1より大きく5より小さい

という3つの条件それぞれにおける、$p$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件を求めます。判別式を $D$ とすると、

$D/4 = p^2 - (2p + 1) > 0$

$p^2 - 2p - 1 > 0$

$p = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

よって、$p < 1 - \sqrt{2}$ または $p > 1 + \sqrt{2}$

(1) 2つの解がともに正である条件

解と係数の関係より、2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、

$\alpha + \beta = 2p > 0$

$\alpha \beta = 2p + 1 > 0$

これらより、$p > 0$ かつ $p > -\frac{1}{2}$なので、$p > 0$。

さらに、判別式の条件より、$p > 1 + \sqrt{2}$

(2) 1つの解が正、他の解が負である条件

$\alpha \beta = 2p + 1 < 0$

$p < -\frac{1}{2}$

判別式の条件より、$p < 1 - \sqrt{2}$

よって、$p < -\frac{1}{2}$

(3) 2つの解がともに1より大きく5より小さい条件

$f(x) = x^2 - 2px + 2p + 1$ とおく。

$f(1) > 0$ かつ $f(5) > 0$ かつ $1 < p < 5$ であればよい。

軸 $x=p$

$f(1) = 1 - 2p + 2p + 1 = 2 > 0$ （常に成立）

$f(5) = 25 - 10p + 2p + 1 = 26 - 8p > 0$

$8p < 26$

$p < \frac{13}{4} = 3.25$

判別式の条件、$1 < p < 5$、$p < \frac{13}{4}$ より

$1 + \sqrt{2} < p < \frac{13}{4}$

$1 + \sqrt{2} \approx 2.414$ なので、$1 + \sqrt{2} < p < \frac{13}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $p > 1 + \sqrt{2}$

(2) $p < -\frac{1}{2}$

(3) $1 + \sqrt{2} < p < \frac{13}{4}$