2次方程式 $x^2 - 2(m-3)x + 4m = 0$ が与えられた条件を満たすような異なる2つの解を持つように、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。ここでは、(2) 2つとも負の場合と(3) 異符号の場合について考えます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m-3)x + 4m = 0$ が与えられた条件を満たすような異なる2つの解を持つように、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。ここでは、(2) 2つとも負の場合と(3) 異符号の場合について考えます。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha$ と $\beta$ を持つとき、以下の条件が成り立ちます。

* 判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$

* $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

* $\alpha \beta = \frac{c}{a}$

与えられた2次方程式 $x^2 - 2(m-3)x + 4m = 0$ について、

$a = 1$, $b = -2(m-3)$, $c = 4m$ となります。

まず、判別式 $D > 0$ より、

$D = (-2(m-3))^2 - 4(1)(4m) > 0$

$4(m^2 - 6m + 9) - 16m > 0$

$4m^2 - 24m + 36 - 16m > 0$

$4m^2 - 40m + 36 > 0$

$m^2 - 10m + 9 > 0$

$(m-1)(m-9) > 0$

よって、$m < 1$ または $m > 9$

次に、(2) 2つとも負の場合を考えます。

異なる2つの負の解を持つ条件は、

* $D > 0$

* $\alpha + \beta < 0$

* $\alpha \beta > 0$

$D > 0$ は既に $m < 1$ または $m > 9$ で求めました。

$\alpha + \beta = -\frac{-2(m-3)}{1} = 2(m-3) < 0$

$m-3 < 0$

$m < 3$

$\alpha \beta = \frac{4m}{1} = 4m > 0$

$m > 0$

これらの条件を全て満たす $m$ の範囲は、$0 < m < 1$ となります。

次に、(3) 異符号の場合を考えます。

異なる2つの解が異符号である条件は、

* $D > 0$

* $\alpha \beta < 0$

$D > 0$ は既に $m < 1$ または $m > 9$ で求めました。

$\alpha \beta = \frac{4m}{1} = 4m < 0$

$m < 0$

これらの条件を全て満たす $m$ の範囲は、$m < 0$ となります。

3. 最終的な答え

(2) 2つとも負の場合: $0 < m < 1$

(3) 異符号の場合: $m < 0$