二項定理を用いて $(x+2)^5$ を展開し、与えられた式の空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

二項定理を用いて $(x+2)^5$ を展開し、与えられた式の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理は、$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ で表されます。今回の問題では、 $a=x$, $b=2$, $n=5$ です。

$(x+2)^5 = \binom{5}{0}x^5 2^0 + \binom{5}{1}x^4 2^1 + \binom{5}{2}x^3 2^2 + \binom{5}{3}x^2 2^3 + \binom{5}{4}x^1 2^4 + \binom{5}{5}x^0 2^5$

各項を計算します。

* $\binom{5}{0} = 1$, $2^0 = 1$, $\binom{5}{0}x^5 2^0 = x^5$

* $\binom{5}{1} = 5$, $2^1 = 2$, $\binom{5}{1}x^4 2^1 = 5 \cdot 2 x^4 = 10x^4$

* $\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$, $2^2 = 4$, $\binom{5}{2}x^3 2^2 = 10 \cdot 4 x^3 = 40x^3$

* $\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$, $2^3 = 8$, $\binom{5}{3}x^2 2^3 = 10 \cdot 8 x^2 = 80x^2$

* $\binom{5}{4} = 5$, $2^4 = 16$, $\binom{5}{4}x^1 2^4 = 5 \cdot 16 x = 80x$

* $\binom{5}{5} = 1$, $2^5 = 32$, $\binom{5}{5}x^0 2^5 = 32$

よって、$(x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

3. 最終的な答え

アイ: 10

ウエ: 40

オカ: 80

キク: 80