定数 $a$ を用いて表された2次方程式 $2x^2 - 2ax - a^2 + 3 = 0$ の解の種類を判別せよ。

1. 問題の内容

定数 $a$ を用いて表された2次方程式 $2x^2 - 2ax - a^2 + 3 = 0$ の解の種類を判別せよ。

2. 解き方の手順

2次方程式の解の種類を判別するには、判別式 $D$ を用います。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。判別式の値によって、解の種類は以下のように判別できます。

* $D > 0$: 異なる2つの実数解

* $D = 0$: 重解（1つの実数解）

* $D < 0$: 異なる2つの虚数解

与えられた2次方程式 $2x^2 - 2ax - a^2 + 3 = 0$ において、$a=2$, $b=-2a$, $c=-a^2+3$ となります。

判別式 $D$ は以下のようになります。

$D = (-2a)^2 - 4(2)(-a^2 + 3)$

$D = 4a^2 - 8(-a^2 + 3)$

$D = 4a^2 + 8a^2 - 24$

$D = 12a^2 - 24$

$D = 12(a^2 - 2)$

解の種類を判別するために、$D$ の符号を調べます。

* $D > 0$ のとき、$12(a^2 - 2) > 0$ より、$a^2 - 2 > 0$。したがって、$a^2 > 2$ となり、$a < -\sqrt{2}$ または $a > \sqrt{2}$ のとき、異なる2つの実数解を持ちます。

* $D = 0$ のとき、$12(a^2 - 2) = 0$ より、$a^2 - 2 = 0$。したがって、$a^2 = 2$ となり、$a = \pm \sqrt{2}$ のとき、重解を持ちます。

* $D < 0$ のとき、$12(a^2 - 2) < 0$ より、$a^2 - 2 < 0$。したがって、$a^2 < 2$ となり、$-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$ のとき、異なる2つの虚数解を持ちます。

3. 最終的な答え

* $a < -\sqrt{2}$ または $a > \sqrt{2}$ のとき、異なる2つの実数解

* $a = \pm \sqrt{2}$ のとき、重解

* $-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$ のとき、異なる2つの虚数解