実数 $x = 0, 12, 15, 28$ のうち、集合 $A = \{n(n-2) \mid n \text{ は自然数}\}$ に属するものを全て求める問題です。つまり、$x = n(n-2)$ を満たす自然数 $n$ が存在するかどうかを、与えられた $x$ のそれぞれについて調べる必要があります。

1. 問題の内容

実数 $x = 0, 12, 15, 28$ のうち、集合 $A = \{n(n-2) \mid n \text{ は自然数}\}$ に属するものを全て求める問題です。つまり、$x = n(n-2)$ を満たす自然数 $n$ が存在するかどうかを、与えられた $x$ のそれぞれについて調べる必要があります。

2. 解き方の手順

$x$ の各値について、$x = n(n-2)$ を満たす自然数 $n$ が存在するかどうかを検証します。

与えられた式は、$n^2 - 2n - x = 0$ と変形できます。

この $n$ についての二次方程式を解き、$n$ が自然数となる $x$ を見つけます。

二次方程式の解の公式を使うと、

$n = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-x)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4x}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{1+x}}{2} = 1 \pm \sqrt{1+x}$

となります。

$n$ が自然数であるためには、$1 + \sqrt{1+x}$ が自然数でなければなりません。

したがって、$\sqrt{1+x}$ が整数になる必要があります。

* $x = 0$ のとき: $n = 1 \pm \sqrt{1+0} = 1 \pm 1$. $n = 0$ または $n = 2$. $n$ は自然数なので、$n = 2$ が条件を満たします。したがって、$x=0$ は条件を満たします。

* $x = 12$ のとき: $n = 1 \pm \sqrt{1+12} = 1 \pm \sqrt{13}$. $\sqrt{13}$ は整数ではないので、$n$ は整数にはなりません。したがって、$x=12$ は条件を満たしません。

* $x = 15$ のとき: $n = 1 \pm \sqrt{1+15} = 1 \pm \sqrt{16} = 1 \pm 4$. $n = -3$ または $n = 5$. $n$ は自然数なので、$n = 5$ が条件を満たします。したがって、$x=15$ は条件を満たします。

* $x = 28$ のとき: $n = 1 \pm \sqrt{1+28} = 1 \pm \sqrt{29}$. $\sqrt{29}$ は整数ではないので、$n$ は整数にはなりません。したがって、$x=28$ は条件を満たしません。

3. 最終的な答え

0, 15