6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5のうち異なる5個を並べて5桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。 (1) 5桁の整数の個数を求める。 (2) 5桁の奇数の個数を求める。 (3) 5桁の偶数の個数を求める。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5のうち異なる5個を並べて5桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。

(1) 5桁の整数の個数を求める。

(2) 5桁の奇数の個数を求める。

(3) 5桁の偶数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数

先頭の数字は0以外なので、5通り。

残りの4桁は残りの5個の数字から並べるので、$_5P_4$通り。

よって、$5 \times _5P_4 = 5 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2$。

(2) 5桁の奇数

一の位が奇数である必要がある。奇数は1, 3, 5の3個。

一の位が1, 3, 5のいずれかの場合を考える。

i) 一の位が奇数の場合、先頭は0以外。

- 一の位が奇数の場合、残り5個の数字から4個を選ぶ。

- 先頭が0でない場合:

- 一の位が奇数である選び方は3通り。

- 先頭が0でない数字の選び方は、一の位に使った数と0を除いた4通り。

- 残り3桁は、残りの4個の数字から並べるので、$_4P_3$通り。

- よって、$3 \times 4 \times _4P_3 = 3 \times 4 \times 4 \times 3 \times 2 = 288$。

(3) 5桁の偶数

一の位が偶数である必要がある。偶数は0, 2, 4の3個。

i) 一の位が0の場合、残りの5個の数字から4個を選んで並べるので、$_5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$。

ii) 一の位が2または4の場合:

- 一の位が2または4の選び方は2通り。

- 先頭が0でない数字の選び方は、一の位に使った数と0を除いた4通り。

- 残り3桁は、残りの4個の数字から並べるので、$_4P_3$通り。

- よって、$2 \times 4 \times _4P_3 = 2 \times 4 \times 4 \times 3 \times 2 = 192$。

i)とii)を足すと$120 + 192 = 312$。

3. 最終的な答え

(1) 600個

(2) 288個

(3) 312個