与えられた方程式 $x^3 = -8$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^3 = -8$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $x^3 + 8 = 0$ と変形します。

左辺は因数分解できることに注目します。

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ という因数分解の公式を用いると、

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$ となります。

したがって、$x+2 = 0$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$ を満たす $x$ が解となります。

$x+2 = 0$ より、$x = -2$ が得られます。

次に、$x^2 - 2x + 4 = 0$ を解きます。

これは二次方程式なので、解の公式を用いて解を求めます。

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるというものです。

この場合、$a = 1$, $b = -2$, $c = 4$ なので、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{-3}}{2} = 1 \pm \sqrt{-3} = 1 \pm i\sqrt{3}$

ここで、$i$ は虚数単位であり、$i^2 = -1$ です。

したがって、$x = 1 + i\sqrt{3}$ または $x = 1 - i\sqrt{3}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$x = -2, 1 + i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3}$