画像の問題は以下の通りです。 (1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$ を因数分解せよ。 (2) $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

画像の問題は以下の通りです。

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$ を因数分解せよ。

(2) $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$ の因数分解

まず、$(x+1)(x+4)$と$(x+2)(x+3)$をそれぞれ展開します。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

$x^2+5x = A$ と置くと、

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24 = (A+4)(A+6)-24$

これを展開すると、

$A^2 + 10A + 24 - 24 = A^2 + 10A = A(A+10)$

$A$ を元に戻すと、

$(x^2+5x)(x^2+5x+10) = x(x+5)(x^2+5x+10)$

(2) $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$ の因数分解

式を展開します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

これを整理します。

$ab^2 - cb^2 - ba^2 + ca^2 - ac^2 + bc^2$

$b^2(a-c) - a^2(b-c) + c^2(b-a)$

$b^2(a-c) - a^2b + a^2c + c^2b - ac^2$

$b^2(a-c) - a^2(b-c) - c^2(a-b)$

$b^2(a-c) - a^2b + a^2c + bc^2 - ac^2$

$-(a-b)(b-c)(c-a)$の形になることを予想して変形する。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

$= a(b^2 - c^2) + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

$= a(b^2 - c^2) - a^2(b - c) - bc(b - c)$

$= a(b - c)(b + c) - (b - c)(a^2 + bc)$

$= (b - c)(a(b + c) - a^2 - bc)$

$= (b - c)(ab + ac - a^2 - bc)$

$= (b - c)(a(b - a) + c(a - b))$

$= (b - c)(a(b - a) - c(b - a))$

$= (b - c)(b - a)(a - c)$

$= -(a - b)(b - c)(c - a)$

3. 最終的な答え

(1) $x(x+5)(x^2+5x+10)$

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

あるいは

$(a-b)(c-b)(c-a)$

あるいは

$(a-b)(b-c)(a-c)$

など