2次関数 $y = -x^2 + 6x$ ($1 \le x \le 4$) の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 6x$ ($1 \le x \le 4$) の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 6x = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x-3)^2 + 9$

したがって、この2次関数の頂点は $(3, 9)$ です。

また、$x^2$の係数が負なので、上に凸のグラフになります。

次に、定義域 $1 \le x \le 4$ における最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標 $x = 3$ は定義域に含まれるので、$x=3$ で最大値をとります。最大値は$9$です。

最小値は、定義域の端点である $x=1$ または $x=4$ でとります。

$x=1$ のとき、$y = -1^2 + 6(1) = -1 + 6 = 5$

$x=4$ のとき、$y = -4^2 + 6(4) = -16 + 24 = 8$

したがって、最小値は$5$です。

3. 最終的な答え

最大値は 9, 最小値は 5。