初項が2、公比が$\sqrt{3}$の等比数列の初項から第n項までの和$S_n$を求めよ。

1. 問題の内容

初項が2、公比が$\sqrt{3}$の等比数列の初項から第n項までの和$S_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を用いる。

初項を$a$、公比を$r$とすると、初項から第$n$項までの和$S_n$は以下の式で表される。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ (ただし、$r \neq 1$)

問題より、$a = 2$、$r = \sqrt{3}$であるから、上記の公式に代入して$S_n$を求める。

$S_n = \frac{2((\sqrt{3})^n - 1)}{\sqrt{3} - 1}$

分母の有理化を行う。

$S_n = \frac{2((\sqrt{3})^n - 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$

$S_n = \frac{2((\sqrt{3})^n - 1)(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}$

$S_n = \frac{2((\sqrt{3})^n - 1)(\sqrt{3} + 1)}{2}$

$S_n = ((\sqrt{3})^n - 1)(\sqrt{3} + 1)$

3. 最終的な答え

$S_n = ((\sqrt{3})^n - 1)(\sqrt{3} + 1)$