2次方程式 $x^2 + 2mx - m + 2 = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲をそれぞれ求めます。 1. 異なる2つの実数解をもつ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx - m + 2 = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲をそれぞれ求めます。

1. 異なる2つの実数解をもつ

2. 実数解をもつ

3. 実数解をもたない

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とすると、

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。

* $D = 0$ のとき、重解（実数解）をもつ。

* $D < 0$ のとき、実数解をもたない（虚数解をもつ）。

* $D \ge 0$ のとき、実数解をもつ。

与えられた2次方程式 $x^2 + 2mx - m + 2 = 0$ について、判別式 $D$ は

$D = (2m)^2 - 4(1)(-m + 2) = 4m^2 + 4m - 8 = 4(m^2 + m - 2) = 4(m + 2)(m - 1)$

となる。

1. 異なる2つの実数解をもつ場合：$D > 0$

$4(m + 2)(m - 1) > 0$

$(m + 2)(m - 1) > 0$

$m < -2$ または $m > 1$

2. 実数解をもつ場合：$D \ge 0$

$4(m + 2)(m - 1) \ge 0$

$(m + 2)(m - 1) \ge 0$

$m \le -2$ または $m \ge 1$

3. 実数解をもたない場合：$D < 0$

$4(m + 2)(m - 1) < 0$

$(m + 2)(m - 1) < 0$

$-2 < m < 1$

3. 最終的な答え

1. 異なる2つの実数解をもつとき： $m < -2$ または $m > 1$

2. 実数解をもつとき： $m \le -2$ または $m \ge 1$

3. 実数解をもたないとき： $-2 < m < 1$