数列 $6, 66, 666, 6666, \dots, 66\dots6$ (6が $n$ 個) の一般項を求めよ。

## 数学の問題

1. 問題の内容

数列 $6, 66, 666, 6666, \dots, 66\dots6$ (6が $n$ 個) の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた数列の第 $n$ 項を $a_n$ とする。

$a_n$ は 6 が $n$ 個並んだ数なので、次のように表せる。

$$$$

a_n = 6 + 60 + 600 + \dots + 6 \times 10^{n-1}

$$$$

これは初項 6、公比 10 の等比数列の第 $n$ 項までの和である。

等比数列の和の公式を用いて、

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a_n = \frac{6(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{6(10^n - 1)}{9} = \frac{2}{3}(10^n - 1)

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したがって、数列の一般項は $a_n = \frac{2}{3}(10^n - 1)$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}(10^n - 1)$