関数 $y = ax^2$ のグラフが与えられています。以下の問いに答えます。 (1) $a$ の値と点 A の y 座標を求めます。 (2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求めます。 (3) 直線 AB の式を求めます。 (4) $\triangle OAB$ の面積を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ のグラフが与えられています。以下の問いに答えます。

(1) $a$ の値と点 A の y 座標を求めます。

(2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求めます。

(3) 直線 AB の式を求めます。

(4) $\triangle OAB$ の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) グラフより、点 B の座標は $(2, 8)$ であることがわかります。この座標を $y = ax^2$ に代入して $a$ の値を求めます。

$8 = a(2)^2$

$8 = 4a$

$a = 2$

したがって、関数は $y = 2x^2$ となります。点 A は $x = -4$ のときのグラフ上の点なので、点 A の y 座標は

$y = 2(-4)^2 = 2(16) = 32$

(2) $x$ の変域が $-3 \le x \le 1$ のとき、$y = 2x^2$ のグラフは原点を含むので、$y$ の最小値は $0$ です。$x = -3$ のとき $y = 2(-3)^2 = 18$、$x = 1$ のとき $y = 2(1)^2 = 2$ なので、$y$ の最大値は $18$ です。したがって、$y$ の変域は $0 \le y \le 18$ となります。

(3) 点 A の座標は $(-4, 32)$、点 B の座標は $(2, 8)$ です。直線 AB の式を $y = mx + n$ とおくと、

$32 = -4m + n$

$8 = 2m + n$

2 つの式を引き算すると、$24 = -6m$ より、$m = -4$

$8 = 2(-4) + n$ より、$8 = -8 + n$ なので、$n = 16$

したがって、直線 AB の式は $y = -4x + 16$

(4) $\triangle OAB$ の面積を求めます。直線 AB の y 切片は $16$ なので、$OA$ の長さは $16$ です。$\triangle OAB$ の面積は、底辺を $OA$ とすると、高さは点 B の x 座標の絶対値である $2$ となります。したがって、$\triangle OAB$ の面積は

$\frac{1}{2} \times 16 \times 2 = 16$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, 点 A の y 座標は $32$

(2) $0 \le y \le 18$

(3) $y = -4x + 16$

(4) $16$