与えられた問題は、以下の3つです。 [4] 2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m-2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの $m$ の範囲を求める。 [5] 2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ の解を求める。 [6] 2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフがx軸と接するときの $m$ の値と接点の座標を求める。 [7] 2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解を持つときの $m$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の3つです。

[4] 2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m-2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの $m$ の範囲を求める。

[5] 2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ の解を求める。

[6] 2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフがx軸と接するときの $m$ の値と接点の座標を求める。

[7] 2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解を持つときの $m$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

[4]

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要があります。

$D = (m+1)^2 - 4(3m-2) > 0$

$m^2 + 2m + 1 - 12m + 8 > 0$

$m^2 - 10m + 9 > 0$

$(m-1)(m-9) > 0$

したがって、$m < 1$ または $9 < m$

[5]

2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ を解きます。

$(x-3)^2 > 0$

$x \neq 3$ であるすべての実数。 選択肢は2。

[6]

2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフがx軸と接するということは、判別式 $D = 0$ です。

$D = (2m)^2 - 4(-2m - 1) = 0$

$4m^2 + 8m + 4 = 0$

$m^2 + 2m + 1 = 0$

$(m+1)^2 = 0$

$m = -1$

したがって、 $m = -1$ です。

接点の座標は、 $x = -m = 1$。

$y = 0$。

よって、接点の座標は $(1, 0)$。

[7]

2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解を持つためには、$f(0) < 0$ である必要があります。ここで、$f(x) = x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3$です。

$f(0) = 2m + 3 < 0$

$2m < -3$

$m < -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

[4] $m < 1, 9 < m$

[5] 2

[6] $m = -1$, 接点の座標は $(1, 0)$

[7] $m < -\frac{3}{2}$