与えられた式 $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x-y)^2$ と $(x+y)^2$ をそれぞれ展開します。

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

次に、$(x-y)^2(x+y)^2$ を計算します。これは $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ を利用して $( (x-y)(x+y) )^2 = (x^2-y^2)^2$と計算できます。

$(x^2 - y^2)^2 = (x^2)^2 - 2x^2y^2 + (y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

最後に、$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^2+y^2)^2$ を計算します。$(x^2+y^2)^2$ を展開すると、

$(x^2+y^2)^2 = (x^2)^2 + 2x^2y^2 + (y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

よって、

$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) = (x^4 + y^4 - 2x^2y^2)(x^4 + y^4 + 2x^2y^2)$

これは $((x^4 + y^4) - 2x^2y^2)((x^4+y^4)+2x^2y^2)$と見なせるため、

$(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ の公式を利用できます。

$A = x^4 + y^4$, $B = 2x^2y^2$ とすると、

$(x^4 + y^4)^2 - (2x^2y^2)^2 = (x^8 + 2x^4y^4 + y^8) - 4x^4y^4 = x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

したがって、

$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) = x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

3. 最終的な答え

$x^8 - 2x^4y^4 + y^8$