問題は、次の式を簡約化することです。 $S = \frac{x^3 - x^2 - 4x + 4}{x^4 - 1} \times \frac{x+1}{x+2}$

1. 問題の内容

問題は、次の式を簡約化することです。

$S = \frac{x^3 - x^2 - 4x + 4}{x^4 - 1} \times \frac{x+1}{x+2}$

2. 解き方の手順

まず、分子 $x^3 - x^2 - 4x + 4$ を因数分解します。

$x^3 - x^2 - 4x + 4 = x^2(x-1) - 4(x-1) = (x^2 - 4)(x-1) = (x-2)(x+2)(x-1)$

次に、分母 $x^4 - 1$ を因数分解します。

$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$

したがって、元の式は次のようになります。

$S = \frac{(x-2)(x+2)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} \times \frac{x+1}{x+2}$

共通因子 $(x-1)$, $(x+1)$, $(x+2)$ を約分します。ただし、$x \neq 1, -1, -2$ であると仮定します。

$S = \frac{(x-2)(x+2)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} \times \frac{x+1}{x+2} = \frac{x-2}{x^2+1}$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、次のとおりです。

$S = \frac{x-2}{x^2+1}$