次の2つの関数の最大値と最小値を、それぞれの定義域内で求めます。 (1) $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 3$) (2) $y = -2x^2 + 4x + 5$ ($-1 \le x \le 0$)

1. 問題の内容

次の2つの関数の最大値と最小値を、それぞれの定義域内で求めます。

(1) $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le 3$)

(2) $y = -2x^2 + 4x + 5$ ($-1 \le x \le 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 4x + 1$ の場合：

まず、関数を平方完成します。

$y = (x - 2)^2 - 3$

これは、頂点が $(2, -3)$ の下に凸な放物線です。定義域は $0 \le x \le 3$ です。

頂点のx座標 $x=2$ は定義域に含まれています。

$x = 0$ のとき $y = (0-2)^2 - 3 = 4-3=1$

$x = 2$ のとき $y = (2-2)^2 - 3 = -3$

$x = 3$ のとき $y = (3-2)^2 - 3 = 1-3=-2$

したがって、最大値は $1$ ($x=0$ のとき)、最小値は $-3$ ($x=2$ のとき)です。

(2) $y = -2x^2 + 4x + 5$ の場合：

まず、関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 2x) + 5 = -2(x - 1)^2 + 2 + 5 = -2(x - 1)^2 + 7$

これは、頂点が $(1, 7)$ の上に凸な放物線です。定義域は $-1 \le x \le 0$ です。

頂点のx座標 $x=1$ は定義域に含まれていません。

$x = -1$ のとき $y = -2(-1 - 1)^2 + 7 = -2(4) + 7 = -8 + 7 = -1$

$x = 0$ のとき $y = -2(0 - 1)^2 + 7 = -2(1) + 7 = -2 + 7 = 5$

したがって、最大値は $5$ ($x=0$ のとき)、最小値は $-1$ ($x=-1$ のとき)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 1 ($x=0$), 最小値: -3 ($x=2$)

(2) 最大値: 5 ($x=0$), 最小値: -1 ($x=-1$)