ある大学の入学者のうち、他の a 大学、b 大学、c 大学を受験した人全体の集合をそれぞれ $A$, $B$, $C$ で表す。 $n(A) = 65$, $n(B) = 40$, $n(A \cap B) = 14$, $n(C \cap A) = 11$, $n(B \cup C) = 55$, $n(C \cup A) = 78$, $n(A \cup B \cup C) = 99$ のとき、次の問いに答えよ。 (1) c 大学を受験した人は何人か。 (2) a 大学、b 大学、c 大学のすべてを受験した人は何人か。 (3) a 大学、b 大学、c 大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

1. 問題の内容

ある大学の入学者のうち、他の a 大学、b 大学、c 大学を受験した人全体の集合をそれぞれ $A$, $B$, $C$ で表す。

$n(A) = 65$, $n(B) = 40$, $n(A \cap B) = 14$, $n(C \cap A) = 11$, $n(B \cup C) = 55$, $n(C \cup A) = 78$, $n(A \cup B \cup C) = 99$ のとき、次の問いに答えよ。

(1) c 大学を受験した人は何人か。

(2) a 大学、b 大学、c 大学のすべてを受験した人は何人か。

(3) a 大学、b 大学、c 大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

2. 解き方の手順

(1)

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$より、

$n(B \cap C) = n(B) + n(C) - n(B \cup C)$

$n(B \cap C) = 40 + n(C) - 55 = n(C) - 15$

$n(A \cup C) = n(A) + n(C) - n(A \cap C)$より、

$n(C) = n(A \cup C) - n(A) + n(A \cap C) = 78 - 65 + 11 = 24$

よって、$n(C)=24$

(2)

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + 24 - 14 - (24 - 15) - 11 + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + 24 - 14 - 9 - 11 + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 95 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 4$

(3)

a 大学のみ受験した人は、$n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 65 - 14 - 11 + 4 = 44$ 人

b 大学のみ受験した人は、$n(B) - n(A \cap B) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 40 - 14 - (24-15) + 4 = 40 - 14 - 9 + 4 = 21$ 人

c 大学のみ受験した人は、$n(C) - n(C \cap A) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 24 - 11 - (24-15) + 4 = 24 - 11 - 9 + 4 = 8$ 人

よって、1大学のみ受験した人は、$44 + 21 + 8 = 73$ 人

3. 最終的な答え

(1) 24人

(2) 4人

(3) 73人