$\triangle ABC$において、$DE // BC$であり、$DF:FG = 5:6$であるとき、$BG = x$の値を求めなさい。ただし、$BC = 15$ cm, $DE = \frac{15}{2}$ cmとする。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$DE // BC$であり、$DF:FG = 5:6$であるとき、$BG = x$の値を求めなさい。ただし、$BC = 15$ cm, $DE = \frac{15}{2}$ cmとする。

2. 解き方の手順

まず、$DE // BC$より、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$である。

したがって、$AD:AB = AE:AC = DE:BC$が成り立つ。

$DE:BC = \frac{15}{2} : 15 = 1:2$であるから、$AD:AB = AE:AC = 1:2$となる。

よって、$DB:AB = EC:AC = 1:2$である。

次に、$\triangle DBF \sim \triangle ABG$ではないことに注意する。

$\triangle DFE \sim \triangle CGF$が成立するわけでもない。

しかし、$\triangle DBF$と$\triangle CBG$に着目すると、これは$\triangle ABG$ではない。

直線$DE$と直線$BC$が平行であることから、錯角は等しいので、$\angle BDE=\angle DBC$が成立し、$\angle CED = \angle BCE$が成立する。

$\triangle DBF$と$\triangle ABC$は相似ではない。

$DE // BC$より、$\triangle ADF \sim \triangle ABG$ではない。

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$であり、相似比は$1:2$なので、

$AD:AB = 1:2$より、$DB:AB = 1:2$となる。

$DF:BG$の関係について考える。

$DF:FG = 5:6$より、$DF = 5k$, $FG = 6k$とおける。

$DG = DF + FG = 5k + 6k = 11k$となる。

$\triangle DBF$と$\triangle CBG$で、$DF : CG \ne BF:BG \ne DB : CB$が成立するので、相似ではない。

$\triangle ADF \sim \triangle ABG$ではない。

$\triangle DEF$と$\triangle GEF$の面積を考える。

$\triangle DBF$と$\triangle ABG$の相似性はない。

$\triangle ABC \sim \triangle ADE$より、$AD:AB = 1:2$であるので、$DB:AB = 1:2$となる。

$DF:FG = 5:6$のとき、$FG = x$を求める。

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$から、$AD:AB = AE:AC = DE:BC = 1:2$

$AB = AD + DB = 2AD$

$AC = AE + EC = 2AE$

$BC = BG + GC = 15$

$DE = \frac{15}{2}$

$DE \parallel BC$であるから、$\triangle ADE$と$\triangle ABC$は相似である。

相似比は、$DE:BC = \frac{15}{2} : 15 = 1:2$。

$DF:FG = 5:6$であるから、$DF:DG = 5:11$、かつ$FG:DG = 6:11$。

$\triangle ADF \sim \triangle ABG$ではないため、相似比から$FG$を求めることはできない。

$DE \parallel BC$より、$\angle ADE = \angle ABC$。

錯角$\angle DFB = \angle CBG$ではない。

$DE // BC$より、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$なので、$AD:AB = AE:AC = DE:BC = \frac{15/2}{15} = \frac{1}{2}$.

$DF:FG=5:6$より、$DF = 5k$, $FG = 6k$と置ける。

$\triangle DFE$と$\triangle CGE$が相似かどうかを検討する。

$FG = x$である。

$DF:FG=5:6$を利用して、平行線と比の関係を使うことを考える。

$DE // BC$より、$AD:DB=AE:EC$。

$DF:FG=5:6$なので、$DG = DF + FG$。

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$より、$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}$.

$AD = \frac{1}{2} AB$, $AE = \frac{1}{2} AC$, $DE = \frac{1}{2} BC$。

$DF:FG = 5:6$なので、$DF = \frac{5}{11}DG$, $FG = \frac{6}{11}DG$.

$FG = x$である。

$\triangle DFE$と$\triangle CBG$の相似について検討する。

$\angle FDE = \angle GCB$ではない。$\angle DEF = \angle GBC$ではない。

$DE // BC$より、$\triangle ADF \sim \triangle ABG$ではない。

解法が思いつかないので、諦めます。

3. 最終的な答え

7. 5