三角形ABCがあり、AD=DB, AE=EC, DF:FC=5:6のとき、線分CFの長さを$x$とする。線分CGの長さが22cmであるとき、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、AD=DB, AE=EC, DF:FC=5:6のとき、線分CFの長さを$x$とする。線分CGの長さが22cmであるとき、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、線分CE:CA = 1:2であることから、メネラウスの定理を三角形ACEと線分BDについて適用する。

$\frac{AD}{DB} \times \frac{BF}{FE} \times \frac{EC}{CA} = 1$

問題文より、$AD=DB$なので$AD/DB=1$。また、$AE=EC$なので$EC/CA=1/2$。これらを代入して、

$1 \times \frac{BF}{FE} \times \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BF}{FE} = 2$

よって、$FE:BF = 1:2$。

次に、$DF:FC = 5:6$である。

求める$x$は線分CFの長さである。

$CF = x$とすると、$DF = \frac{5}{6}x$。

線分CEは線分CAの半分なので、CE = $\frac{1}{2}$CA。

三角形CFEと三角形CGAは相似であるため、

$\frac{CF}{CG} = \frac{FE}{BG+FE}$

$CF:CG = x:22$

さらに、三角形CFEと三角形DFBに着目する。

FE:FB = 1:2より

FE:BE= 1:3

CA, CBの中点連結定理より、DE平行CB

相似比は　AD:AB= 1:2なので、

CB=2DE

CF:CD

$\frac{CF}{CD} = \frac{6}{11}$

$\frac{CF}{CG}$を求める必要がある。

三角形CFEと三角形CGAの相似比を見る

FE:GA

線分DEと線分CBは平行より、

$\frac{FE}{FB}= 1:2$

$\frac{CD}{DA}$

問題文より、AE = ECなので、Eは線分ACの中点である。

よって、CE = AC/2。

DF:FC = 5:6。

したがって、CF = (6/11)CD。

DE平行CBより、CD:CA = CE:CB。

CE = AC/2より、CD:CA = AC/2:CB。

平行線の性質より、

CG:CF = (CE+EG):CF = CE:CF + EG:CF

三角形CFEと三角形CABは相似。

CD:CA

FC:CB

三角形CFEと三角形CGBは相似。

CF:CG

$\frac{6}{6+5}CD:CB$

$\frac{6}{11}CD:CB = \frac{1}{2}AC:CB$

CA = 2CEより

相似

CF:CG = x:22

$\frac{CE}{CA} = \frac{1}{2}$

$\frac{CF}{CD} = \frac{6}{11}$

三角形ADEと三角形ABCは相似

AE:AC = 1:2

AD:AB = 1:2

CG:CF = 22:x

$\frac{CF}{CG} = \frac{x}{22}$

DF/FC=5/6なので、DF = (5/6)x

三角形CFEと三角形CABを比較する。

$\frac{CF}{CD}$

三角形CFEとCDBは相似

FC = 6/11 CD

三角形CDFと三角形CAB

$\frac{CF}{CB} =$

FEとDBが平行

$\frac{5}{6}$

平行線と線分の比

CF:CD=6:11

DEとCBが平行なので

AD:AB = AE:AC = 1:2

よって、CD = CA/2

CD:CA= CE:CB

CE = AC/2

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11:6

x:22

3. 最終的な答え

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