三角形ABCにおいて、DE // BC、DF:FC = 5:6である。このとき、x（CFの長さ）の値を求める。ただし、CG = 22cm、AE = 11cmとする。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、DE // BC、DF:FC = 5:6である。このとき、x（CFの長さ）の値を求める。ただし、CG = 22cm、AE = 11cmとする。

2. 解き方の手順

まず、DE // BC より、三角形ADEと三角形ABCは相似である。

$AD/AB = AE/AC$

次に、DF:FC = 5:6より、DF = 5k、FC = 6k とおくことができる。

AC = AF + FC であり、$AC = AF + 6k$ となる。

また、AF = AD である。 (錯角が等しいので, AD = AF)

ゆえに、$AC = AD + 6k$

$AD/AB = AE/AC = 11 / (AD + 6k)$

ここで、三角形ADFと三角形CBFに着目する。

DF:FC = 5:6 より、AD:BC = 5:6 であることがわかる。

$AD = 5m$ とすると、$BC = 6m$ と表せる。

また、三角形AFGと三角形ABCに着目すると、

$AG/AC = AF/AB$ となる。

問題より、CG = 22 なので、 $AC = AG + 22$ である。

$AD:BC = AF:CE$ であるので、

$5:6 = AF/CE$

三角形AFEと三角形ABCが相似ではない。

三角形ADEと三角形ABCが相似なので,

$AE/AC = AD/AB$

DE//BCより、三角形ADEと三角形ABCは相似。したがって、AE/AC = DE/BC

また、DF/FC = 5/6。

三角形ADFと三角形CBFに着目すると、AD/BC = DF/FC よりAD/BC = 5/6。

AE=11であり、CF=xとおくと、AC= AF+FC= AF+x。

ADEとABCが相似であるから、

$AE/AC = AD/AB$

$11/(AF+x) = AD/AB$

AD/BC = 5/6より、BC = 6AD/5。

AF:FC = 5:6より、 AF = 5x/6。

$AC = 5x/6 + x = 11x/6$。

三角形CEFと三角形CABは相似ではないため、比の関係は使用できない。

$AE/AC = 11 / (5x/6 + x) = 11/(11x/6) = 6/x$

問題文に記載はないが、点GはAB上にある。

三角形CDGと三角形CABは相似。

$CG/CA = CD/CB$

$22/CA = CD/CB$

ここで、メネラウスの定理を使用する。

三角形ACEに対して、直線BFDを考えると、

(AF/FC) * (CB/BE) * (ED/DA) = 1

(5/6) * (CB/BE) * (ED/DA) = 1

この式だけでは、xを求めることはできない。

平行線と比の定理より、

AD/AB=AE/AC。AE=11、CF=x。

DF/FC = 5/6。

AF/AC = 5x/(6*(x+5x/6)) = 5x/(6*(11x/6)) = 5/11

AC=AF+FC。よってAC=5/6x+x=11/6x。

AE/AC = 11/(11/6x)=6/x

GE=CG-CF=22-x。

$AD/AB=AE/AC=6/x$

$AF/AC=5/11$より、AF=5/11AC。

$AF=AD$より、$AF=AE=11$。

$AC=(11x)/6$

$11=5/11((11x)/6)=5x/6$

$66=5x$

$x=66/5=13.2$

3. 最終的な答え

x = 13.2