三角形ABCにおいて、AD = DB、AE = EC、DF:FC = 2:3 のとき、線分BGの長さ$x$を求める問題です。ただし、線分BCの長さは10cmです。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AD = DB、AE = EC、DF:FC = 2:3 のとき、線分BGの長さ$x$を求める問題です。ただし、線分BCの長さは10cmです。

2. 解き方の手順

まず、メネラウスの定理を三角形BCEと直線ADに適用します。メネラウスの定理とは、三角形ABCの辺AB, BC, CA上にそれぞれ点P, Q, Rがあるとき、P, Q, Rが一直線上にあるための必要十分条件は、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$

である、という定理です。

今回の問題では、三角形BCEと直線ADについて、

点Dは辺BE上、点Fは辺CE上、点Aは辺BCの延長上にあると考えることができます。

このとき、メネラウスの定理より

$\frac{BD}{DE} \cdot \frac{EF}{FC} \cdot \frac{CA}{AB} = 1$

ここで、AD = DBより$\frac{BD}{AD} = 1$、AE = ECより、AE = ECなので$\frac{AE}{EC} = 1$となります。

また、DF:FC = 2:3なので、$\frac{FC}{DF} = \frac{3}{2}$となります。

DEは三角形ABCの中点連結線なので、DEはBCと平行です。

したがって、三角形ADFと三角形ABCは相似です。

よって、$\frac{DF}{FC} = \frac{2}{3}$より、$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$となります。

$\frac{BG}{GC} \cdot \frac{CF}{FD} \cdot \frac{DA}{AB}= 1$に値を代入していきます。

$\frac{BG}{GC} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BG}{GC} = \frac{4}{3}$

$BG:GC = 4:3$

線分BCの長さは10cmなので、$BG = x$とすると、$GC = 10 - x$となります。

したがって、$\frac{x}{10-x} = \frac{4}{3}$

これを解くと、

$3x = 40 - 4x$

$7x = 40$

$x = \frac{40}{7}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{40}{7}$