二次関数 $y = -x^2 + 3x + 2$ の $0 \leq x \leq 1$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -x^2 + 3x + 2$ の $0 \leq x \leq 1$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 3x + 2 = -(x^2 - 3x) + 2 = -(x^2 - 3x + (3/2)^2 - (3/2)^2) + 2 = -(x - 3/2)^2 + 9/4 + 2 = -(x - 3/2)^2 + 17/4$

これにより、この二次関数の頂点の座標が $(3/2, 17/4)$ であることがわかる。

定義域が $0 \leq x \leq 1$ であるため、頂点は定義域に含まれていない。

次に、定義域の端点における $y$ の値を計算する。

$x = 0$ のとき、$y = -0^2 + 3(0) + 2 = 2$

$x = 1$ のとき、$y = -1^2 + 3(1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$

したがって、$x=1$ のとき最大値 $4$ をとり、$x=0$ のとき最小値 $2$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値: 4

最小値: 2