問題は、式 $a(b-c)^3 + b(c-a)^3 + c(a-b)^3$ を簡単にすることです。

1. 問題の内容

問題は、式 $a(b-c)^3 + b(c-a)^3 + c(a-b)^3$ を簡単にすることです。

2. 解き方の手順

まず、各式を展開します。

$(b-c)^3 = b^3 - 3b^2c + 3bc^2 - c^3$

$(c-a)^3 = c^3 - 3c^2a + 3ca^2 - a^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

次に、これらの展開結果を元の式に代入します。

$a(b^3 - 3b^2c + 3bc^2 - c^3) + b(c^3 - 3c^2a + 3ca^2 - a^3) + c(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)$

$= ab^3 - 3ab^2c + 3abc^2 - ac^3 + bc^3 - 3abc^2 + 3a^2bc - a^3b + a^3c - 3a^2bc + 3ab^2c - b^3c$

ここで、同類項をまとめます。

$= ab^3 - ac^3 + bc^3 - a^3b + a^3c - b^3c - 3ab^2c + 3ab^2c + 3abc^2 - 3abc^2 - 3a^2bc + 3a^2bc$

$= ab^3 - ac^3 + bc^3 - a^3b + a^3c - b^3c$

この式を整理します。

$= ab^3 - b^3c - ac^3 + bc^3 - a^3b + a^3c$

$= b^3(a-c) + c^3(b-a) + a^3(c-b)$

$= b^3(a-c) - c^3(a-b) - a^3(b-c)$

$= b^3(a-c) + c^3(b-a) + a^3(c-b)$

$= a(b^3-c^3) + b(c^3-a^3) + c(a^3-b^3)$

$= a(b-c)(b^2+bc+c^2) + b(c-a)(c^2+ca+a^2) + c(a-b)(a^2+ab+b^2)$

ここで、$a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = ab - ac + bc - ab + ac - bc = 0$　を利用するために式を変形します。

上記の式を変形します：

$a(b-c)(b^2+bc+c^2) + b(c-a)(c^2+ca+a^2) + c(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$=a(b-c)(b^2+bc+c^2) - b(a-c)(c^2+ca+a^2) - c(b-a)(a^2+ab+b^2)$

$=a(b^3 - c^3) + b(c^3 - a^3) + c(a^3 - b^3)$

$=ab^3-ac^3+bc^3-a^3b+a^3c-b^3c$

$= ab^3-b^3c+bc^3-ac^3-a^3b+a^3c$

$= b^3(a-c)+c^3(b-a)+a^3(c-b)$

$= b^3(a-c)-c^3(a-b)-a^3(b-c)$

因数分解を行います。

$a(b-c)^3 + b(c-a)^3 + c(a-b)^3 = (a-b)(b-c)(a-c) * (-3)$

$= 3(a-b)(b-c)(c-a)$

$= 3(a^2b-a^2c-ab^2+ac^2+b^2c-bc^2)$

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$

または

$3(a^2b - a^2c - ab^2 + ac^2 + b^2c - bc^2)$

または

$3abc - 3ac^2 + 3bc^2 -3ba^2 +3ca^2 -3cb^2$

または

$ab^3 - ac^3 + bc^3 - a^3b + a^3c - b^3c = 3(a-b)(b-c)(c-a)$

どれでも正解です。

最も簡単な形は、$3(a-b)(b-c)(c-a)$ です。

最終的な答え：

$3(a-b)(b-c)(c-a)$