$\tan \alpha = 2$, $\tan \beta = \frac{1}{3}$ のとき、$\tan(\alpha - \beta)$ の値を求め、さらに $0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$ である条件の下で $\alpha - \beta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\tan \alpha = 2$, $\tan \beta = \frac{1}{3}$ のとき、$\tan(\alpha - \beta)$ の値を求め、さらに $0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$ である条件の下で $\alpha - \beta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan(\alpha - \beta)$ を求めるために、以下の公式を使用します。

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

問題文より $\tan \alpha = 2$ および $\tan \beta = \frac{1}{3}$ であるので、上記の公式に代入すると

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1$

したがって、$\tan(\alpha - \beta) = 1$ です。

次に、$\alpha - \beta$ の値を求めます。$0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\tan(\alpha - \beta) = 1$ を満たす $\alpha - \beta$ は、

$\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\tan(\alpha - \beta) = 1$

$\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$