次の2つの数列の和 $S$ を求める問題です。 (1) $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ (2) $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ (ただし、$x \neq 1$)

1. 問題の内容

次の2つの数列の和 $S$ を求める問題です。

(1) $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

(2) $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ (ただし、$x \neq 1$)

2. 解き方の手順

(1) の解き方

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ を考えます。

両辺に2をかけると、

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-3) \cdot 2^{n-1} + (2n-1) \cdot 2^n$

$S - 2S$ を計算すると、

$-S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^n$

等比数列の和の公式を用いて、

$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1) \cdot 2^n = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n = -3 + 2^{n+1} - 2n \cdot 2^n + 2^n = -3 + 2^n(2 - 2n + 1) = -3 + (3-2n)2^n$

$S = 3 + (2n-3)2^n$

(2) の解き方

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

両辺に $x$ をかけると、

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + \dots + (3n-5)x^{n-1} + (3n-2)x^n$

$S - xS$ を計算すると、

$(1-x)S = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^n$

$(1-x)S = 1 + 3(x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1}) - (3n-2)x^n$

等比数列の和の公式を用いて、$x \neq 1$ より、

$x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1} = \frac{x(x^{n-1} - 1)}{x-1} = \frac{x^n - x}{x-1}$

したがって、

$(1-x)S = 1 + 3\frac{x^n - x}{x-1} - (3n-2)x^n = \frac{x-1 + 3x^n - 3x - (3n-2)x^n(x-1)}{x-1}$

$(1-x)S = \frac{-2x-1 + 3x^n - (3n-2)x^{n+1} + (3n-2)x^n}{x-1} = \frac{-2x-1 + (3n-2+3)x^n - (3n-2)x^{n+1}}{x-1}$

$(1-x)S = \frac{-2x-1 + (3n+1)x^n - (3n-2)x^{n+1}}{x-1}$

$S = \frac{-2x-1 + (3n+1)x^n - (3n-2)x^{n+1}}{(x-1)(1-x)} = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 3 + (2n-3)2^n$

(2) $S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$