$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ であり、$\tan \alpha = -1$, $\tan \beta = -2$のとき、$\cos(\alpha - \beta)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ であり、$\tan \alpha = -1$, $\tan \beta = -2$のとき、$\cos(\alpha - \beta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\cos(\alpha - \beta)$ を求めるために、加法定理 $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ を利用します。

まず、$\alpha$ と $\beta$ の範囲から、$\cos \alpha$, $\sin \alpha$, $\cos \beta$, $\sin \beta$ の符号を調べます。

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\alpha$ は第2象限の角なので、$\cos \alpha < 0$ であり、$\sin \alpha > 0$ です。

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ より、$\beta$ は第2象限の角なので、$\cos \beta < 0$ であり、$\sin \beta > 0$ です。

次に、$\tan \alpha = -1$ より、$\alpha = \frac{3\pi}{4}$ なので、$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

$\tan \beta = -2$ より、

$\tan^2 \beta = 4$ なので、

$\frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} = 4$

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta$ なので、

$\frac{1 - \cos^2 \beta}{\cos^2 \beta} = 4$

$1 - \cos^2 \beta = 4 \cos^2 \beta$

$5 \cos^2 \beta = 1$

$\cos^2 \beta = \frac{1}{5}$

$\beta$ は第2象限の角なので、$\cos \beta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ となります。

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ なので、

$\beta$ は第2象限の角なので、$\sin \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ となります。

したがって、

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

$= (-\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{5}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{2}{\sqrt{5}})$

$= \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{2}{\sqrt{10}}$

$= \frac{3}{\sqrt{10}}$

$= \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{10}}{10}$