$z = \cos \frac{2}{9}\pi + i\sin \frac{2}{9}\pi$ のとき、$z^8 + z^7 + \dots + z + 1$ の値を求める。

1. 問題の内容

$z = \cos \frac{2}{9}\pi + i\sin \frac{2}{9}\pi$ のとき、$z^8 + z^7 + \dots + z + 1$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$z$が1の9乗根の一つであることに注目します。具体的には、ド・モアブルの定理より、

$z^9 = (\cos \frac{2}{9}\pi + i\sin \frac{2}{9}\pi)^9 = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1$

したがって、$z^9 - 1 = 0$ です。

$z^9 - 1$ を因数分解すると、

$z^9 - 1 = (z-1)(z^8 + z^7 + z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0$

ここで、$z \neq 1$ なので、$z^8 + z^7 + z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

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