ベクトル $\vec{p} = (5, 1)$, $\vec{q} = (-3, 2)$, $\vec{r} = (1, -1)$ が与えられている。ベクトル $\vec{p} + t\vec{q}$ が $\vec{r}$ と平行になるように、実数 $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{p} = (5, 1)$, $\vec{q} = (-3, 2)$, $\vec{r} = (1, -1)$ が与えられている。ベクトル $\vec{p} + t\vec{q}$ が $\vec{r}$ と平行になるように、実数 $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{p} + t\vec{q}$ を計算する。

$\vec{p} + t\vec{q} = (5, 1) + t(-3, 2) = (5 - 3t, 1 + 2t)$

$\vec{p} + t\vec{q}$ と $\vec{r}$ が平行であるためには、ある実数 $k$ が存在して $\vec{p} + t\vec{q} = k\vec{r}$ が成り立つ必要がある。

つまり、

$(5 - 3t, 1 + 2t) = k(1, -1) = (k, -k)$

したがって、以下の連立方程式を得る。

$5 - 3t = k$

$1 + 2t = -k$

この連立方程式を解く。第一式と第二式を足し合わせると、

$(5 - 3t) + (1 + 2t) = k + (-k)$

$6 - t = 0$

$t = 6$

求めた $t$ の値を連立方程式に代入して $k$ を求める。

$k = 5 - 3(6) = 5 - 18 = -13$

$k = -(1 + 2(6)) = -(1 + 12) = -13$

$t=6$ は連立方程式の解として適切である。

3. 最終的な答え

$t = 6$