問題11：$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。 問題12：$\sqrt{5}$ と $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ は等しくないことを説明せよ。

1. 問題の内容

問題11：$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

問題12：$\sqrt{5}$ と $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ は等しくないことを説明せよ。

2. 解き方の手順

問題11：

まず、$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ を有理化する。分母と分子に $\sqrt{3}+1$ をかける。

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

$\sqrt{3}$ の近似値を求める。$1 < \sqrt{3} < 2$ である。より詳しく、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ である。

したがって、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ より、$2.7 < \sqrt{3}+1 < 2.8$ となる。

よって、整数の部分は $a=2$ である。

小数の部分は $b = (\sqrt{3}+1) - a = (\sqrt{3}+1) - 2 = \sqrt{3} - 1$ である。

問題12：

$\sqrt{5}$ と $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ の大小を比較するために、それぞれ2乗する。

$(\sqrt{5})^2 = 5$

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$

$5 < 5 + 2\sqrt{6}$ である。

したがって、$(\sqrt{5})^2 < (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$ となる。

$\sqrt{5} > 0$ かつ $\sqrt{2}+\sqrt{3} > 0$ なので、$\sqrt{5} < \sqrt{2}+\sqrt{3}$ である。

よって、$\sqrt{5}$ と $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は等しくない。

3. 最終的な答え

問題11：

$a=2$

$b=\sqrt{3}-1$

問題12：

$\sqrt{5} < \sqrt{2} + \sqrt{3}$ であるため、$\sqrt{5}$ と $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ は等しくない。