与えられた式 $(x^4 + 1)(x^2 + 1)(x+1)(x-1)$ を展開して、できるだけ簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^4 + 1)(x^2 + 1)(x+1)(x-1)$ を展開して、できるだけ簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)(x-1)$ の部分を計算します。これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用できます。

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

次に、式全体に $(x^2-1)$ を代入します。

$(x^4 + 1)(x^2 + 1)(x^2 - 1)$

$(x^2+1)(x^2-1)$を先に計算すると、

$(x^2+1)(x^2-1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

したがって、

$(x^4 + 1)(x^4 - 1)$

これは $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用すると、

$(x^4 + 1)(x^4 - 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$

3. 最終的な答え

$x^8 - 1$