与えられた式 $(x-y-1)$ に関する2次式を簡単にする問題です。具体的には、以下の式を因数分解します。 $3(x-y-1)^2 - 6(x-y-1) + 9$

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-y-1)$ に関する2次式を簡単にする問題です。具体的には、以下の式を因数分解します。

$3(x-y-1)^2 - 6(x-y-1) + 9$

2. 解き方の手順

まず、$A = x - y - 1$ と置換します。すると、与えられた式は次のようになります。

$3A^2 - 6A + 9$

次に、式全体を3でくくり出します。

$3(A^2 - 2A + 3)$

ここで、括弧の中の式を平方完成することを考えます。

$A^2 - 2A + 3 = (A^2 - 2A + 1) + 2 = (A - 1)^2 + 2$

したがって、

$3(A^2 - 2A + 3) = 3((A-1)^2 + 2) = 3(A-1)^2 + 6$

ここで、$A = x - y - 1$ を代入します。

$3(x-y-1-1)^2 + 6 = 3(x-y-2)^2 + 6$

最後に、$3(x-y-2)^2 + 6$ を展開します。

$3(x-y-2)^2 + 6 = 3(x^2 + y^2 + 4 - 2xy - 4x + 4y) + 6 = 3x^2 + 3y^2 + 12 - 6xy - 12x + 12y + 6 = 3x^2 + 3y^2 - 6xy - 12x + 12y + 18$

3. 最終的な答え

$3(x-y-2)^2+6$

もしくは

$3x^2 + 3y^2 - 6xy - 12x + 12y + 18$