$\alpha, \beta, \gamma$ は鋭角で、$\tan \alpha = 2$, $\tan \beta = 5$, $\tan \gamma = 8$ のとき、$\tan(\alpha + \beta + \gamma)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha, \beta, \gamma$ は鋭角で、$\tan \alpha = 2$, $\tan \beta = 5$, $\tan \gamma = 8$ のとき、$\tan(\alpha + \beta + \gamma)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan(\alpha + \beta)$ を求めます。

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ の公式を使います。

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + 5}{1 - 2 \cdot 5} = \frac{7}{1 - 10} = \frac{7}{-9} = -\frac{7}{9}$

次に、$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \tan((\alpha + \beta) + \gamma)$ を求めます。

$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan \gamma}{1 - \tan(\alpha + \beta) \tan \gamma}$ の公式を使います。

$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{-\frac{7}{9} + 8}{1 - (-\frac{7}{9}) \cdot 8} = \frac{-\frac{7}{9} + \frac{72}{9}}{1 + \frac{56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{9}{9} + \frac{56}{9}} = \frac{\frac{65}{9}}{\frac{65}{9}} = 1$

3. 最終的な答え

$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = 1$