与えられた式 $(x+4)(x+2)(x-1)(x-3)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+4)(x+2)(x-1)(x-3)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を見やすくするために、次のように並び替えます。

$(x+4)(x-3)(x+2)(x-1)$

次に、$(x+4)(x-3)$ と $(x+2)(x-1)$ をそれぞれ展開します。

$(x+4)(x-3) = x^2 -3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$

$(x+2)(x-1) = x^2 -x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$

したがって、

$(x+4)(x+2)(x-1)(x-3) = (x^2 + x - 12)(x^2 + x - 2)$

ここで、$y = x^2 + x$ とおくと、

$(x^2 + x - 12)(x^2 + x - 2) = (y - 12)(y - 2)$

これを展開すると、

$(y - 12)(y - 2) = y^2 - 2y - 12y + 24 = y^2 - 14y + 24$

$y = x^2 + x$ を代入すると、

$(x^2 + x)^2 - 14(x^2 + x) + 24 = (x^4 + 2x^3 + x^2) - 14x^2 - 14x + 24$

これを整理すると、

$x^4 + 2x^3 + x^2 - 14x^2 - 14x + 24 = x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x + 24$

3. 最終的な答え

$x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x + 24$