初項が55、公差が-3である等差数列$\{a_n\}$について、初項から第何項までの和が最大となるか、またその最大値を求めよ。

1. 問題の内容

初項が55、公差が-3である等差数列$\{a_n\}$について、初項から第何項までの和が最大となるか、またその最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、一般項$a_n$を求めます。等差数列の一般項は、初項を$a$、公差を$d$とすると、$a_n = a + (n-1)d$で表されます。

この問題では、$a=55$, $d=-3$なので、

$a_n = 55 + (n-1)(-3) = 55 - 3n + 3 = 58 - 3n$

次に、$a_n$が初めて負になる$n$を求めます。

$58 - 3n < 0$

$3n > 58$

$n > \frac{58}{3} = 19.333...$

よって、$a_{20}$が初めて負の数になります。つまり、$a_{19}$までは正の数であり、$a_{20}$以降は負の数になります。したがって、初項から第19項までの和が最大になります。

次に、初項から第$n$項までの和$S_n$を求めます。

等差数列の和の公式は、$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$です。

$a_1 = 55$, $a_{19} = 58 - 3(19) = 58 - 57 = 1$

したがって、$S_{19} = \frac{19}{2}(55 + 1) = \frac{19}{2}(56) = 19 \times 28 = 532$

3. 最終的な答え

初項から第19項までの和が最大となり、その最大値は532です。