与えられた式 $x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての2次式とみて整理する。

$x^2 + (y+6)x - (2y^2 - 8)$

次に、定数項の $2y^2 - 8$ を因数分解する。

$2y^2 - 8 = 2(y^2 - 4) = 2(y-2)(y+2)$

したがって、与えられた式は以下のように変形できる。

$x^2 + (y+6)x - 2(y-2)(y+2)$

この式を因数分解するには、$A+B = y+6$、$AB = -2(y-2)(y+2)$ となる $A$ と $B$ を見つける必要がある。

$A = 2(y+2) = 2y+4$、

$B = -(y-2) = -y+2$

とすると、

$A + B = (2y + 4) + (-y + 2) = y + 6$

$AB = (2y + 4)(-y + 2) = -2y^2 + 4y - 4y + 8 = -2y^2 + 8 = -2(y^2 - 4) = -2(y-2)(y+2)$

したがって、与えられた式は次のように因数分解できる。

$x^2 + (y+6)x - 2(y-2)(y+2) = (x + 2y + 4)(x - y + 2)$

3. 最終的な答え

$(x + 2y + 4)(x - y + 2)$