連続する2つの奇数について、大きい数の平方から小さい数の平方を引いた差が何かの倍数になるかを答え、その理由を証明する問題です。

1. 問題の内容

連続する2つの奇数について、大きい数の平方から小さい数の平方を引いた差が何かの倍数になるかを答え、その理由を証明する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 連続する2つの奇数を $2n+1$ と $2n+3$ （$n$は整数）と表します。

(2) 大きい数の平方から小さい数の平方を引いた差を計算します。

$(2n+3)^2 - (2n+1)^2 = (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1) = 8n + 8 = 8(n+1)$

(3) $8(n+1)$ は 8 の倍数です。問題文は「もっとも大きい数」を求めることなので、任意の整数 $n$ について成り立つ 8 が該当します。

(4) 上記の計算結果を元に、証明を行います。

3. 最終的な答え

① 8

② (証明)

連続する2つの奇数を $2n+1$, $2n+3$ ($n$ は整数) とすると、大きい数の平方から小さい数の平方を引いた差は

$(2n+3)^2 - (2n+1)^2 = 4n^2 + 12n + 9 - (4n^2 + 4n + 1) = 8n + 8 = 8(n+1)$

これは8の倍数である。