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与えられた式 $(x-1)(x-4)(x+1)(x+4)$ を2通り以上の方法で展開することを説明する。

代数学多項式の展開因数分解式の計算
2025/5/6

1. 問題の内容

与えられた式 (x−1)(x−4)(x+1)(x+4)(x-1)(x-4)(x+1)(x+4) を2通り以上の方法で展開することを説明する。

2. 解き方の手順

方法1：
まず、(x−1)(x-1) と (x+1)(x+1)、(x−4)(x-4) と (x+4)(x+4) をそれぞれ展開する。
(x−1)(x+1)=x2−1(x-1)(x+1) = x^2 - 1
(x−4)(x+4)=x2−16(x-4)(x+4) = x^2 - 16
次に、これらの結果を掛け合わせる。
(x2−1)(x2−16)=x4−16x2−x2+16=x4−17x2+16(x^2 - 1)(x^2 - 16) = x^4 - 16x^2 - x^2 + 16 = x^4 - 17x^2 + 16
方法2：
順番に展開する。
(x−1)(x−4)=x2−4x−x+4=x2−5x+4(x-1)(x-4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4
(x+1)(x+4)=x2+4x+x+4=x2+5x+4(x+1)(x+4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4
次に、これらの結果を掛け合わせる。
(x2−5x+4)(x2+5x+4)(x^2 - 5x + 4)(x^2 + 5x + 4)
=(x2+4−5x)(x2+4+5x)=(x2+4)2−(5x)2= (x^2 + 4 - 5x)(x^2 + 4 + 5x) = (x^2 + 4)^2 - (5x)^2
=x4+8x2+16−25x2=x4−17x2+16= x^4 + 8x^2 + 16 - 25x^2 = x^4 - 17x^2 + 16

3. 最終的な答え

x4−17x2+16x^4 - 17x^2 + 16

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