与えられた式 $2x^2 - xy - y^2 + 8x + y + 6$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - xy - y^2 + 8x + y + 6$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を$x$についての2次式と見て整理します。

$2x^2 + (-y + 8)x + (-y^2 + y + 6)$

次に、定数項 $-y^2 + y + 6$ を因数分解します。

$-y^2 + y + 6 = -(y^2 - y - 6) = -(y - 3)(y + 2)$

したがって、与えられた式は

$2x^2 + (-y + 8)x - (y - 3)(y + 2)$

となります。

これを $(2x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形に因数分解できると仮定します。

展開すると、

$2x^2 + (A + 2C)xy + ACy^2 + (B + 2D)x + (AD + BC)y + BD$

となります。

与えられた式と係数を比較すると、

$A + 2C = -1$

$AC = -1$

$B + 2D = 8$

$AD + BC = 1$

$BD = 6$

$AC = -1$ より、$(A, C)$ の候補は $(1, -1)$ または $(-1, 1)$。

$A + 2C = -1$ より、

$(A, C) = (1, -1)$ のとき、$1 + 2(-1) = -1$ となり、条件を満たす。

$(A, C) = (-1, 1)$ のとき、$-1 + 2(1) = 1$ となり、条件を満たさない。

よって、$A = 1, C = -1$。

$BD = 6$ より、$(B, D)$ の候補は $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1), (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1)$。

$B + 2D = 8$ より、

$(B, D) = (2, 3)$ のとき、$2 + 2(3) = 8$ となり、条件を満たす。

$AD + BC = 1$ より、$1(3) + 2(-1) = 1$ となり、条件を満たす。

よって、$B = 2, D = 3$。

したがって、与えられた式は

$(2x + y + 2)(x - y + 3)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(2x + y + 2)(x - y + 3)$