与えられた式 $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$ を計算して、できるだけ簡単な形で表してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$ を計算して、できるだけ簡単な形で表してください。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。分母の $\sqrt{6}+\sqrt{3}$ に対して、$\sqrt{6}-\sqrt{3}$ を掛けて有理化します。分子と分母の両方に $\sqrt{6}-\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}$

分母を計算します。

$(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$

分子を計算します。

$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{6}-\sqrt{3}) = \sqrt{2}\sqrt{6} - \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{3} = \sqrt{12} - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{6}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} - \frac{2\sqrt{6}}{3} = \sqrt{3} - \frac{2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{6}}{3}$