(1) 実数 $a, b$ が $(1+ai)(1+bi) = (1-ai)(-3-i)$ を満たすときの $a, b$ の値を求める。 (2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 7$ を $x^2 - 2x + 3$ で割ったときの商と余りを求め、恒等式を書き、虚数 $\alpha = 1 + \sqrt{2}i$ に対して、$a^2 - 2a + 3 = $定数 となることを利用して、$f(\alpha)$ の値を求める。 (3) 2次方程式 $x^2 - 4x + 5 = 0$ の解のうち、虚部が正であるものを $\alpha$ 、虚部が負であるものを $\beta$ とし、$z = \frac{\beta}{\alpha}$ とおき、$z$ の値を求め、$z^2 - \frac{6}{5}z$ の値を求め、最後に $5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 実数 $a, b$ が $(1+ai)(1+bi) = (1-ai)(-3-i)$ を満たすときの $a, b$ の値を求める。

(2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 7$ を $x^2 - 2x + 3$ で割ったときの商と余りを求め、恒等式を書き、虚数 $\alpha = 1 + \sqrt{2}i$ に対して、$a^2 - 2a + 3 =$定数 となることを利用して、$f(\alpha)$ の値を求める。

(3) 2次方程式 $x^2 - 4x + 5 = 0$ の解のうち、虚部が正であるものを $\alpha$ 、虚部が負であるものを $\beta$ とし、$z = \frac{\beta}{\alpha}$ とおき、$z$ の値を求め、$z^2 - \frac{6}{5}z$ の値を求め、最後に $5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた等式を展開して整理する。

$(1+ai)(1+bi) = 1 + bi + ai + abi^2 = 1 + (a+b)i - ab$

$(1-ai)(-3-i) = -3 - i + 3ai + ai^2 = -3 - 1 + (-1+3a)i = -4 + (3a-1)i$

実部と虚部を比較して、

$1-ab = -4 \Rightarrow ab = 5$

$a+b = 3a-1 \Rightarrow 2a-b = 1$

$b = 2a-1$ を $ab=5$ に代入して、$a(2a-1)=5$

$2a^2 - a - 5 = 0$

$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-5)}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}$

$a = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}$ のとき $b = 2a-1 = \frac{1 + \sqrt{41}}{2} - 1 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$

$a = \frac{1 - \sqrt{41}}{4}$ のとき $b = 2a-1 = \frac{1 - \sqrt{41}}{2} - 1 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$

(2)

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 7$ を $x^2 - 2x + 3$ で割る。

$2x^3 - 3x^2 + 6x + 7 = (x^2 - 2x + 3)(2x+1) + (x+4)$

したがって、商は $2x+1$、余りは $x+4$

$f(x) = (x^2 - 2x + 3)(2x+1) + x+4$

$\alpha = 1 + \sqrt{2}i$ のとき

$\alpha^2 - 2\alpha + 3 = (1 + \sqrt{2}i)^2 - 2(1 + \sqrt{2}i) + 3 = 1 + 2\sqrt{2}i - 2 - 2 - 2\sqrt{2}i + 3 = 0$

$f(\alpha) = (\alpha^2 - 2\alpha + 3)(2\alpha + 1) + \alpha + 4 = (0)(2\alpha + 1) + \alpha + 4 = \alpha + 4 = 1 + \sqrt{2}i + 4 = 5 + \sqrt{2}i$

(3)

$x^2 - 4x + 5 = 0$ の解は $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(5)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$

$\alpha = 2 + i$, $\beta = 2 - i$

$z = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4 - 4i - 1}{4+1} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

$z^2 - \frac{6}{5}z = (\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i)^2 - \frac{6}{5}(\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i) = \frac{9}{25} - \frac{24}{25}i - \frac{16}{25} - \frac{18}{25} + \frac{24}{25}i = \frac{9-16-18}{25} = \frac{-25}{25} = -1$

$5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1 = 5z^2(z^2 - \frac{6}{5}z) -z(z^2 - \frac{6}{5}z) -1 = 5z^2(-1) - z(-1) - 1 = -5z^2 + z - 1 = -5(z^2 - \frac{6}{5}z) - 6z + z - 1 = -5(-1) - 5z - 1 = 5 - 5z - 1 = 4 - 5z = 4 - 5(\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i) = 4 - 3 + 4i = 1 + 4i$

3. 最終的な答え

(1) $(a,b) = (\frac{1 + \sqrt{41}}{4}, \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}); (\frac{1 - \sqrt{41}}{4}, \frac{-1 - \sqrt{41}}{2})$

(2) 商: $2x+1$、余り: $x+4$、$f(a) = 5 + \sqrt{2}i$

(3) $z = \frac{3-4i}{5}$、$z^2 - \frac{6}{5}z = -1$、$5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1 = 1+4i$