問題は以下の通りです。 3. 次の2次関数のグラフとx軸との共有点の個数を求めよ。また、共有点があれば、その共有点の座標を求めよ。 (1) $y = 2x^2 - x - 1$ (2) $y = -4x^2 + 4x - 1$ (3) $y = x^2 + x + 1$ 4. 2次関数 $y = 4x^2 + (k-1)x + 1$ のグラフがx軸と接するときの定数kの値を求めよ。 5. 次の2次不等式を解け。 (1) $x^2 + 2x - 35 > 0$ (2) $4x^2 - 4x - 3 \leq 0$ (3) $3x^2 - 5x + 1 < 0$ (4) $-x^2 + 6x + 2 \leq 0$ 6. 2次不等式 $x^2 + 2kx + k + 6 \geq 0$ の解が、すべての実数となるように、定数kの値の範囲を定めよ。 7. 次の連立不等式を解け。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

3. 次の2次関数のグラフとx軸との共有点の個数を求めよ。また、共有点があれば、その共有点の座標を求めよ。

(1) $y = 2x^2 - x - 1$

(2) $y = -4x^2 + 4x - 1$

(3) $y = x^2 + x + 1$

4. 2次関数 $y = 4x^2 + (k-1)x + 1$ のグラフがx軸と接するときの定数kの値を求めよ。

5. 次の2次不等式を解け。

(1) $x^2 + 2x - 35 > 0$

(2) $4x^2 - 4x - 3 \leq 0$

(3) $3x^2 - 5x + 1 < 0$

(4) $-x^2 + 6x + 2 \leq 0$

6. 2次不等式 $x^2 + 2kx + k + 6 \geq 0$ の解が、すべての実数となるように、定数kの値の範囲を定めよ。

7. 次の連立不等式を解け。

2. 解き方の手順

3. (1) $y = 2x^2 - x - 1$

$2x^2 - x - 1 = 0$ を解く。

$(2x+1)(x-1) = 0$

$x = -\frac{1}{2}, 1$

共有点の個数は2個。座標は $(-\frac{1}{2}, 0), (1, 0)$.

(2) $y = -4x^2 + 4x - 1$

$-4x^2 + 4x - 1 = 0$ を解く。

$4x^2 - 4x + 1 = 0$

$(2x-1)^2 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

共有点の個数は1個。座標は $(\frac{1}{2}, 0)$.

(3) $y = x^2 + x + 1$

$x^2 + x + 1 = 0$ を解く。

判別式 $D = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$

実数解なし。共有点の個数は0個。

4. $y = 4x^2 + (k-1)x + 1$ がx軸と接する条件は、判別式が0となること。

$D = (k-1)^2 - 4(4)(1) = 0$

$(k-1)^2 - 16 = 0$

$(k-1)^2 = 16$

$k-1 = \pm 4$

$k = 1 \pm 4$

$k = 5, -3$

5. (1) $x^2 + 2x - 35 > 0$

$(x+7)(x-5) > 0$

$x < -7$ または $x > 5$

(2) $4x^2 - 4x - 3 \leq 0$

$(2x+1)(2x-3) \leq 0$

$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$

(3) $3x^2 - 5x + 1 < 0$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$

$\frac{5 - \sqrt{13}}{6} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$

(4) $-x^2 + 6x + 2 \leq 0$

$x^2 - 6x - 2 \geq 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11}$

$x \leq 3 - \sqrt{11}$ または $x \geq 3 + \sqrt{11}$

6. $x^2 + 2kx + k + 6 \geq 0$ がすべての実数で成り立つ条件は、判別式が0以下であること。

$D = (2k)^2 - 4(1)(k+6) \leq 0$

$4k^2 - 4k - 24 \leq 0$

$k^2 - k - 6 \leq 0$

$(k-3)(k+2) \leq 0$

$-2 \leq k \leq 3$

7. 連立不等式の問題は省略されています。

3. 最終的な答え

8. (1) 共有点2個。 $(-\frac{1}{2}, 0), (1, 0)$.

(2) 共有点1個。 $(\frac{1}{2}, 0)$.

(3) 共有点0個。

9. $k = 5, -3$

1

0. (1) $x < -7$ または $x > 5$

(2) $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$

(3) $\frac{5 - \sqrt{13}}{6} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$

(4) $x \leq 3 - \sqrt{11}$ または $x \geq 3 + \sqrt{11}$

1

1. $-2 \leq k \leq 3$