(1) 実数 $a, b$ が $(1+ai)(1+bi) = (1-ai)(-3-i)$ を満たすときの $a, b$ の値を求める。 (2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 7$ を $x^2 - 2x + 3$ で割ったときの商と余りを求め、$a = 1 + \sqrt{2}i$ としたときの $f(a)$ の値を求める。 (3) 2次方程式 $x^2 - 4x + 5 = 0$ の解のうち、虚部が正であるものを $\alpha$、虚部が負であるものを $\beta$ とし、$z = \frac{\beta}{\alpha}$ とおく。$z$ の値を求め、$z^2 - \frac{6}{5}z$ の値を求め、さらに $5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 実数 $a, b$ が $(1+ai)(1+bi) = (1-ai)(-3-i)$ を満たすときの $a, b$ の値を求める。

(2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 7$ を $x^2 - 2x + 3$ で割ったときの商と余りを求め、$a = 1 + \sqrt{2}i$ としたときの $f(a)$ の値を求める。

(3) 2次方程式 $x^2 - 4x + 5 = 0$ の解のうち、虚部が正であるものを $\alpha$、虚部が負であるものを $\beta$ とし、$z = \frac{\beta}{\alpha}$ とおく。$z$ の値を求め、$z^2 - \frac{6}{5}z$ の値を求め、さらに $5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(1+ai)(1+bi) = (1-ai)(-3-i)$ を展開して整理する。

$1 + ai + bi + abi^2 = -3 - i + 3ai + ai^2$

$1 + (a+b)i - ab = -3 - i + 3ai - a$

実部と虚部を比較する。

$1 - ab = -3 - a \Rightarrow a - ab = -4$

$a + b = -1 + 3a \Rightarrow b = 2a - 1$

$a - a(2a - 1) = -4$

$a - 2a^2 + a = -4$

$2a^2 - 2a - 4 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a - 2)(a + 1) = 0$

$a = 2$ または $a = -1$

$a = 2$ のとき $b = 2(2) - 1 = 3$

$a = -1$ のとき $b = 2(-1) - 1 = -3$

したがって、$(a, b) = (2, 3), (-1, -3)$

(2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 7$ を $x^2 - 2x + 3$ で割る。

商は $2x + 1$、余りは $x + 4$

$f(x) = (x^2 - 2x + 3)(2x + 1) + x + 4$

$a = 1 + \sqrt{2}i$ とする。

$a^2 - 2a + 3 = (1 + \sqrt{2}i)^2 - 2(1 + \sqrt{2}i) + 3 = 1 + 2\sqrt{2}i - 2 - 2 - 2\sqrt{2}i + 3 = 0$

$f(a) = (a^2 - 2a + 3)(2a + 1) + a + 4 = 0 \cdot (2a + 1) + a + 4 = a + 4 = 1 + \sqrt{2}i + 4 = 5 + \sqrt{2}i$

(3) $x^2 - 4x + 5 = 0$ の解は

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$

$\alpha = 2 + i$, $\beta = 2 - i$

$z = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{2 - i}{2 + i} = \frac{(2 - i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{4 - 4i - 1}{4 + 1} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

$z^2 - \frac{6}{5}z = (\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i)^2 - \frac{6}{5}(\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i) = \frac{9 - 24i - 16}{25} - \frac{18}{25} + \frac{24}{25}i = \frac{-7 - 24i}{25} - \frac{18}{25} + \frac{24}{25}i = \frac{-25}{25} = -1$

$z^2 - \frac{6}{5}z = -1$ なので $5z^2 - 6z = -5$ すなわち $5z^2 - 6z + 5 = 0$

$5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1 = z^2(5z^2 - 6z) - z^3 + 6z - 1 = z^2(-5) - z(z^2 - 6) - 1 = -5z^2 - z(-5) - 1 = -5z^2 + 5z - 1 = -5(z^2 - z) - 1 = -5(\frac{6}{5}z - 1 - z) -1 = -5(\frac{1}{5}z - 1) - 1 = -z + 5 - 1 = -z + 4 = -(\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i) + 4 = -\frac{3}{5} + \frac{4}{5}i + \frac{20}{5} = \frac{17}{5} + \frac{4}{5}i$

3. 最終的な答え

(1) $(a, b) = (2, 3), (-1, -3)$

(2) 商: $2x+1$, 余り: $x+4$, $f(a) = 5 + \sqrt{2}i$

(3) $z = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$, $z^2 - \frac{6}{5}z = -1$, $5z^4 - z^3 - 6z^2 + 6z - 1 = \frac{17}{5} + \frac{4}{5}i$